Co je Laplaceova transformace? Vzorec, vlastnosti, podmínky a aplikace

Vyzkoušejte Náš Nástroj Pro Odstranění Problémů





Matematika hraje rozhodující roli při porozumění chování a fungování elektrický a elektronické systémy . Polynomy, algebra, pravděpodobnost, integrace a diferenciace atd. Tvoří významnou část nástrojů používaných k řešení systémů. S rostoucí složitostí systémů jsou vyžadovány velmi sofistikované metody. Diferenciální rovnice jsou prominentně používány pro definování řídicích systémů. Tyto rovnice lze snadno vyřešit. Složitost však nastává při řešení diferenciálních rovnic vyššího řádu. K řešení tak složitých diferenciálních rovnic vyššího řádu je matematická metoda, která se ukázala jako účinná Laplaceova transformace . Protože je tato transformace široce využívána, je užitečné vědět, k čemu skutečně znamenaly a jak fungují.

Co je to Laplaceova transformace?

V matematice se transformace používají pro transformaci proměnné z jedné formy do druhé, aby se s rovnicí snadno manipulovalo. Laplace transformuje do značné míry to samé. Transformují diferenciální rovnici vyššího řádu do polynomiální formy, která je mnohem snadnější než přímé řešení diferenciální rovnice.




Existuje ale různá transformace, jako je Fourierova transformace, z transformace, díky čemuž je Laplaceova transformace speciální? Hlavní výhodou Laplaceovy transformace je, že jsou definovány pro stabilní i nestabilní systémy, zatímco Fourierovy transformace jsou definovány pouze pro stabilní systémy.

Vzorec Laplaceovy transformace

Laplaceova transformace funkce f (t) v časové oblasti, kde t je reálné číslo větší nebo rovné nule, je uvedena jako F (s), kde existuje s je komplexní číslo ve frekvenční doméně. tj. s = σ + jω
Výše uvedená rovnice je považována za jednostranný Laplaceova transformační rovnice . Když jsou limity rozšířeny na celou skutečnou osu, pak Bilaterální Laplaceova transformace lze definovat jako
V praktických obvodech jako Obvody RC a RL obvykle se používají počáteční podmínky, takže se pro účely analýzy použijí jednostranné Laplaceovy transformace.
Protože s = σ + jω, když σ = 0 Laplaceova transformace se chová jako Fourierova transformace.



Laplaceovy transformační vzorce

Laplaceovy transformační vzorce

Podmínky použitelnosti Laplaceovy transformace

Laplaceovy transformace se nazývají integrální transformace, takže existují podmínky nezbytné pro konvergenci těchto transformací.
tj. f musí být lokálně integrovatelný pro interval [0, ∞) a v závislosti na tom, zda je σ kladné nebo záporné, může e ^ (- σt) klesat nebo růst. U dvoustranných Laplaceových transformací spíše než jedné hodnoty integrál konverguje přes určitý rozsah hodnot známých jako Region konvergence.

Vlastnosti Laplaceovy transformace:

Linearita

Linearita

Linearita

Časový posun

Časový posun

Časový posun

Posun v S-doméně

Posun v S-doméně

Posun v S-doméně

Časový obrat

Časový obrat

Časový obrat

Diferenciace v S-doméně

Diferenciace v S-doméně

Diferenciace v S-doméně

Konvoluce v čase

Konvoluce v čase

Konvoluce v čase

Věta o počáteční hodnotě

Věta o počáteční hodnotě se použije, když je v Laplaceově transformaci stupeň čitatele menší než stupeň jmenovatele Věta o konečné hodnotě:


Pokud všechny póly sF leží v levé polovině konečné hodnoty věty S, použije se věta.

Inverzní Laplaceova transformace

Díky konvergenční charakteristice mají Laplaceova transformace také inverzní transformaci. Laplaceovy transformace vykazují mapování jedna ku jedné z jednoho funkčního prostoru do druhého. Vzorec pro inverzní Laplaceovu transformaci je

Jak vypočítat Laplaceovu transformaci?

Laplaceova transformace usnadňuje manipulaci s rovnicemi. Když je dána diferenciální rovnice vyššího řádu, použije se na ni Laplaceova transformace, která převede rovnici na algebraickou rovnici, což usnadňuje manipulaci. Pak vypočítáme kořeny zjednodušením této algebraické rovnice. Nyní je nalezena inverzní Laplaceova transformace jednoduššího výrazu, která řeší danou diferenciální rovnici vyššího řádu.

Výpočet Laplaceovy transformace

Výpočet Laplaceovy transformace

Aplikace Laplaceovy transformace

  • Analýza elektrických a elektronické obvody .
  • Rozklad složitých diferenciálních rovnic na jednodušší polynomiální formy.
  • Laplaceova transformace poskytuje informace o ustálených i přechodných stavech.
  • Ve strojovém učení se Laplaceova transformace používá k vytváření předpovědí a provádění analýz v dolování dat.
  • Laplaceova transformace zjednodušuje výpočty v modelování systému.

Aplikace Laplaceovy transformace při zpracování signálu

Laplaceovy transformace se často rozhodují pro zpracování signálu. Spolu s Fourierovou transformací Laplaceova transformace se používá ke studiu signálů ve frekvenční doméně. Když jsou v signálu ve frekvenční doméně malé frekvence, pak lze očekávat, že signál bude v časové doméně hladký. Filtrace signálu se obvykle provádí ve frekvenční doméně, pro kterou Laplace funguje jako důležitý nástroj pro převod signálu z časové domény na frekvenční doménu.

Aplikace Laplaceovy transformace v řídicích systémech

Řídicí systémy jsou obvykle určeny k řízení chování jiných zařízení. Příklad řídicí systémy může sahat od jednoduchého regulátoru domácího vytápění až po průmyslový řídicí systém, který reguluje chování strojů.

Obecně platí, že řídící inženýři používají diferenciální rovnice k popisu chování různých funkčních bloků uzavřené smyčky. Laplaceova transformace se zde používá k řešení těchto rovnic bez ztráty rozhodujících informací o proměnných.

Charakterizace lineárních časově proměnných systémů pomocí Laplaceovy transformace

Pro příležitostný systém ROC přidružený k systému je funkce pravou poloviční rovinou. Systém je anti-ležérní, pokud jeho impulsní odezva h (t) = 0 pro t> 0.

Pokud ROC systémových funkcí H (s) zahrnuje osu jω, pak L.T.I. systém se nazývá stabilní systém. Pokud neformální systém s racionálními funkcemi systému H (s) má záporné reálné části pro všechny své póly, pak je systém stabilní.

Laplaceova transformace je tedy klíčovým nástrojem při analýze obvodů. Můžeme říci, že stetoskop je pro doktora, Laplaceovy transformace jsou pro řídícího inženýra. Co považujete za Laplaceovy transformace? Jak vám byly nápomocné?